Tüm dersler ve Matematik

Fonksiyon

A. TANIM

A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.

"x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye de değer kümesi denir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}

biçiminde de gösterilir.

Ü	Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
Ü	Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
Ü	s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere, i) A dan B ye n^m tane fonksiyon tanımlanabilir. ii) B den A ya mⁿ tane fonksiyon tanımlanabilir. iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2^{m × n} – n^m dir.
Ü	Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLERA Ç B ¹ Æ olmak üzere,

fonksiyonları tanımlansın.

(f + g) : A Ç B ® , (f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f – g) : A Ç B ® , (f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f × g) : A Ç B ® , (f × g)(x) = f(x) × g(x)
"x Î A Ç B için, g(x) ¹ 0 olmak üzere,

c Î olmak üzere,× f) : A ® , (c × f)(x) = c × f(x) tir.

(c

C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİBir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir..

1. Bire Bir Fonksiyon

BBuna göre, bire bir fonksiyonda,

"x₁, x₂ Î A için, x₁ ¹ x₂ iken f(x₁) ¹ f(x₂) olur.

Diğer bir ifadeyle,

"x₁, x₂ Î A için, f(x₁) = f(x₂) iken

x₁ = x₂ ise, f fonksiyonu bire birdir.

Ü	s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere, A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı,

2. Örten FonksiyonGörüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

f : A ® B

f(A) = B ise, f örtendir.

s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı,

m! = m × (m – 1) × (m – 2) × ... × 3 × 2 × 1 dir.

3. İçine FonksiyonÖrten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

Ü	İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
Ü	s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı m^m – m! dir.

4. Birim (Etkisiz) FonksiyonHer elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.

Ü	Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

5. Sabit FonksiyonTanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

"x Î A ve c Î B için,

f : A ® B

f(x) = c

ise, f sabit fonksiyondur.

s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,

A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon

f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.

f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

Ü	Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
Ü	Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

D. EŞİT FONKSİYONf : A ® B

g : A ® B

Her x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYONf : A ® A

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.

A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A

f = {(a, b), (b, c), (c, a)}

fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup

biçiminde gösterilir.

F. TERS FONKSİYONf : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,

f^–1 : B ® A, f^–1 = {(y, x)|(x, y) Î f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.

(x, y) Î f ise, (y, x) Î f^–1 olduğu için,

y = f(x) ise, x = f^–1(y) dir.

Ayrıca, (f^–1)^–1 = f dir.

(f^–1)^–1 = f dir. Ancak, (f^–1(x))^–1 ¹ f(x) tir.

f fonksiyonu bire bir ve örten değilse, f^–1 fonksiyon değildir.

f : A ® B ise, f^–1 : B ® A olduğu için, f nin tanım kümesi, f^–1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de, f^–1 in tanım kümesidir.

f(a) = b ise, f^–1(b) = a dır.

f^–1(b) = a ise, f(a) = b dir.

y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f^–1(x) in grafiği
y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.

olmak üzere,

G. BİLEŞKE FONKSİYONf : A ® B, g : B ® C fonksiyonları tanımlansın.

f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.

Buna göre,

f : A ® B ve g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

Ü	(gof)(x) = g[f(x)] tir.

Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.

Bu durumda, fog ¹ gof dir.

Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez.

Ü	Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır. Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.
Ü	I birim fonksiyon olmak üzere, foI = Iof = f ve f^–1of = fof^–1 = I dır.
Ü	f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere, (fog)^–1 = g^–1of^–1 ve (fogoh)^–1 = h^–1og^–1of^–1 dir.
Ü	(fog)(x) = h(x) ise, f(x) = (hog^–1)(x) dir. ise, g(x) = (f^–1oh)(x) tir.

• f^–1 (x) = f(x) tir.

• (fof) (x) = x

• (fofof) (x) = f(x)

• (fofofof) (x) = x

...

H. FONKSİYONUN GRAFİĞİBir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.

f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B, y = f(x)}

(a, b) Î f

olduğundan

f(a) = b dir.

Ayrıca, f^–1(b) = a dır.

Ü	Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, f(–3) = 3, f(–2) = 1, f(–1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1, f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dır.