//-->
SORUNUZU SORUN HEP BİRLİKTE CEVAPLAYALIM BÖLÜMÜ SOLDA FORUM YAZAN YERDEDİR. FORUMA ÜYE OLUN TÜM SORULARINIZ CEVAPLANSIN. MATEMATİK VE DİĞER DERSLERİN VİDEOLU KONU ANLATIMI VE SORU ÇÖZÜMÜ VİDEO ANLATIMLARI SİTEMİZDE BULUNMAKTADIR MATEMATİKCİMM SONUNDAKİ CİMM 2 M İLE YAZILIYOR :) *HOŞ GELDİNİZ*
aaaa
aaaaaa
6. 7. 8. Sınıf Matematik
6. 7. 8. Sınıf Videolu konu anlatımı
6. 7. 8. Sınıf Videolu soru çözümü
6. 7. 8. Sınıf Türkçe
6. 7. 8. Sınıf Fen bilgisi
6. 7. 8. Sınıf Sosyal bilgiler
aaaaaa
Matematik
Geometri
Fizik
Kimya
Biyoloji
Edebiyat
Dil ve anlatım
6. 7. 8. Sınıf Matematik
Matematik
Geometri
Fizik
Kimya
Biyoloji
Türkçe
Edebiyat
Tarih
6. 7. 8. Sınıf Matematik
Geometri
Matematik
Toplist
Site içi arama
Ziyaretçi defteri
Site duyuruları
Yönetici Hakkında
Hakkımızda
iletişim
Reklam ver
Site Haritası
aaaaaaaa
Takvim yaprakları
Döküman arşivi

Eğitim Haberleri
Anketler
7 günde ingilizce
7 günde ingilizce
7 günde ingilizce
Filipinli Bakıcı
Filipinli Bakıcılar
Filipinli Bakıcı Arıyorum
5 günde ingilizce
7 günde ingilizce
7 günde ingilizce
7 günde ingilizce

Tüm dersler ve Matematik

diziler seriler

ARİTMETİK ve GEOMETRİK DİZİLER, SERİLER

ARİTMETİK DİZİ

A. TANIM
Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere   N+ için, an+1 – an = d olacak Î n "aritmetik dizi denir. Diğer bir ifadeyle   R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d sayısına da ortak fark Îşekilde bir d  denir.
ÖRNEK
(an) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz. Ortak farkını bulunuz.

an+1 – an = (n+1+10)/5 – (n+10)/5 = 1/5 olduğuna göre (an), ortak farkı d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir.

B. GENEL TERİM
Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farkı d = 1 olan bir aritmetik dizidir.
5
a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 3d
................................
an = an – 1 + d = a1 + (n – 1)d dir.
Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n – 1)d dir.
ÖRNEK
İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?
a1 = 8 ve d = 2 an = a1 + (n – 1) d
an = 8 + (n – 1) 2
an = 2n + 6'dır.

C. ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ
Aritmetik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak fark : d = ap – ak dir.
p - k
ÖRNEK
39. terimi 19 ve 45. terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?
a39 = 19 ve a45 = 22 d = (a45 – a39)/(45 – 39)
d = (22 – 19)/6
d = ½' dir.

a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı :
d = b – a dır.
n + 1
ÖRNEK
- 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-8)]/(8+1) = 36/9 = 4
Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse,
Sn = n [2a1 + (n – 1)d] ya da
2
Sn = n (a1 + an) olur.
2
Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k p iken,
ap = ap – k +ap + k dır.
2
ÖRNEK
19. terimi 42 ve 33. terimi 88 olan aritmetik dizinin 26. terimi kaçtır?

a19 = 42 ve a33 = 88 ve (19 + 33)/2 = 26 olduğu için,
a26 = (a19+a33)/2
a26 = (42+88)/2
a26 = 65'tir.

GEOMETRİK DİZİ

A. TANIM
Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir. Diğer bir ifadeyle
 R varsa (an) dizisine Î N+ için, an + 1 = r olacak şekilde bir r Î n " geometrik dizi, r sayısına ortak
an
çarpan veya ortak oran denir.
ÖRNEK
(an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz. Dizinin ortak çarpanını bulunuz.

(an+1)/an = (2n+1+5)/2n+5 = 2olduğuna göre (an), ortak çarpanı r = 2 olan geometrik bir dizidir.

B. GENEL TERİM
Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun. Bu durumda,
a1 = a1
a2 = r.a1
a3 = r.a2 = r2.a1
a4 = r.a3 = r3.a1
Demek ki, geometrik dizinin genel terimi: an = rn – 1.a1 veya an = rn – p.ap dir.
ÖRNEK
İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir?

a1 = 4 ve r = ½ an = rn – 1 . a1
an = (1/2)n – 1 . 4
an = 23 - n

C. GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ
Geometrik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak çarpan : rp – k = ap eşitliğinde bulunur.
ak
ÖRNEK
2. terimi 3/5 ve 5. terimi 75 olan geometrik dizinin ortak çarpanı nedir?


a2 = 3/5 ve a5 = 75 r5 – 2 = a5/a2
r3 = 75/3/5
r3 = 125
r = 5 tir.


Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse Sn = a1.1 – rn olur.
1 – r
ÖRNEK
İlk terimi 6 ve ilk 3 teriminin toplamı 42 olan geometrik dizinin 3. terimi nedir?

a1 = 6 ve S3 = 42 ise S3 = a1 . (1 – r3)/(1 – r)

Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k p iken, ap = dır.
ÖRNEK
3. terimi 3 ve 5. terimi 6 olan geometrik dizinin 7. terimi nedir?

a3 = ve a5 = (a3 . a7)1/2 6 = (3 . a7)1/2 36 = 3 . a7 a7 = 12'dir.
SONUÇ:
Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir. Yani, sabit dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidir.
ÖRNEK:
Bir geometrik dizinin ilk terimi x, ortak çarpanı 6, n. terimi y'dir. Bu dizinin, ilk n teriminin toplamının x ve y'ye bağlı ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

a1 = x, r = 6 ve an = y olduğuna göre, an = a1rn – 1 y = x.6n – 1 6n = 6y/x ... (*)
Sn = a1.(1 – rn)/(1 – r) = x . (1 – 6n)/(1 – 6) = x . (1 – 6y/x)/(-5) = (6y – x)/5 dir.

SERİLER

A. TANIM
• (an) reel terimli bir dizi olsun.
= a1+a2+a3+ ...+an + ... sonsuz toplamına seri denir.
• an'e serinin genel terimi denir.
• Serinin ilk n teriminin toplamından oluşan Sn = a1+a2+a3+ ...+an toplamına serinin n. kısmi toplamı denir.
• (Sn) = (S1,...,S2,...,S3,...,Sn,...) dizisine kısmi toplamlar dizisi denir.
• a) (Sn) dizisi yakınsak ise serisi de yakınsaktır ve serinin toplamı = lim Sn' dir.
b) (Sn) dizisi ıraksak ise seriside ıraksaktır.
• serisi yakınsak ise lim an = 0'dır. Bu ifadenin tersi doğru değildir.Yani, lim an = 0 iken serisi yakınsak olmayabilir.
ise serisi ıraksaktır. 0 ¹• lim an
ÖRNEK
2n/5-n serisi veriliyor. Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz.

an = 2n/5-n =  0 olduğuna göre seri ¹ dur. lim an ¥2n.5n = 10n dir. lim an = lim 10n =  ıraksaktır.


B. ARİTMETİK VE GEOMETRİK SERİLER

1. Aritmetik Seriler
(an) dizisi bir aritmetik dizi ise serisine aritmetik seri denir. Aritmetik serinin kısmi toplamı Sn = n (a1+a2)'dir. Aritmetik seri ıraksaktır.
2
ÖRNEK
(n – 10)/20 serisi veriliyor. Serinin, aritmetik seri olduğunu gösteriniz. Serinin kısmi toplamını bulunuz. Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz.
 N+ için d = an +1 – an =(n+1-10)/20 – (n-10)/20 = Î n " 1/20 olduğu için seri aritmetik seridir.
a1 = -9/20 ve an = (n – 10)/20 olduğuna göre, Sn =n/2(a1+an) = n/2[-9/20 + (n –10)/20]
¥=n(n – 19)/40 = 
olduğuna göre (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksaktır. (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksak olduğu için sorulan seri ıraksaktır.

2. Geometrik Seriler
(an) dizisi bir geometrik dizi ise serisine geometrik seri denir. Geometrik serinin kısmi toplamı Sn = a1.1-rn'dir.
1-r
a) |r| 1 ise seri yakınsaktır ve serinin toplamı: = a1'dir.
1-r
ise seri 1 ³b) |r|  ıraksaktır.

ÖRNEK

31-n serisi veriliyor.
Serinin, geometrik seri olduğunu gösteriniz, serinin kısmi toplamını bulunuz, serinin yakınsak olduğunu gösteriniz, serinin toplamını bulunuz
.
matematikcimm.tr.gg
Atasözleri sözlüğü
Deyimler sözlüğü
Kompozisyon Örnekleri
Kitap özetleri
Bilgi damlaları
Roman özetleri
100 Temel eser
Türk destanları
Dünyamızı tanıyalım
Ülkemizi tanıyalım
Türkiyenin bölgeleri
Dünya bilimi
Bilim adamları
Biliyormusun ?
Rekorlar kitabı
Bilmeceler
Güzel sözler
Fıkralar
Komik yazılar
Diğer Konular
Hoşgeldin 2011
İslami bilgiler
Photoshop dersleri
Küresel ısınma
Çeşitli bilgiler
Online:
Tekil Hit: 105
Çoğul Hit: 383
Ip: 54.205.238.173

PageRank
© Matematikcimm.tr.gg Tüm hakları saklıdır.İçerik kaynak gösterilmesi halinde kullanılabilir 2008-2009-2010 Copyright ©
Bu web sitesi ücretsiz olarak Bedava-Sitem.com ile oluşturulmuştur. Siz de kendi web sitenizi kurmak ister misiniz?
Ücretsiz kaydol