Tüm dersler ve Matematik

euclides geometrisi

Euclides Geometrisi


1. XIX. yüzyılın sonu ile XX. yüzyıl boyunca genel olarak matematiğin özel olarak geometrinin temelleri konusunda matematik felsefesi bağlamında pek çok çalışma yapıldı. Bu tarihten önce, özellikle geometri, XIX. yüzyıl başlarında klasik yerini büyük oranda cebir ile analize bırakmıştı. Öyleki bir çok matematikçi geleneksel geometriyi modern cebirin bazı bölümlerinin basit bir yorumu olarak görüyordu. Ancak bahusus XIX. yüzyılın ikinci yarısından itibaren ‘Öklit-dışı’ (non-Euclidean) geometrilerin ortaya çıkması, daha önce Dedekind, Cantor gibi matematikçilerin matematik kavramlarla ilgili yürüttükleri çalışmalarla birleşince, merkezinde Kant felsefesinin, özellikle Kant’ın mekan idrâkinin bulunduğu klasik kabulleri sorgulamaya zorladı.
Yukarıda zikredilen dönemde vuku bulan çalışmalar yani ‘matematiğin temeli/temelleri nedir’ sorusu büyük oranda ‘matematik doğrunun tanımı nedir’ sorusuna bağlı olarak yürüdü; bu soruya ilişkin verilen cevaplar ise matematik nesnelerin mahiyetini sorgulayan ‘matematik nesneler nedir? sorusunu merkeze aldı. Bu soruların yanında, matematik ile fizik biliminin ilişkisi, matematik yapıların fizik dünyayı temsil etmesinin anlamı ve değeri gibi pek çok sorun gündeme geldi. Peano, Russell, Whitehead, Hilbert, Frege, Poincaré, Klein, Tarski, Gödel, Brouwer vb. bir çok matematikçi-filozofun eğildiği bu sorular, esasen, Öklit-dışı geometrilerin ortaya çıkmasıyla sarsılan ‘matematik bilginin güvenirliğini’ yeniden sağlamak için cevaplandırılması elzem sorulardı. Muhtelif düşünürlerin bu sorulara kendi felsefî yönelimlerine bağlı olarak ürettiği cevaplar, modern ve çağdaş matematik felsefesinde, aynı zamanda, çeşitli ‘-izmler’in de türemesine neden oldu. Bu -izmlerin içerisinde nispeten merkezî bir yer edinen ve modern matematik-geometri felsefe çalışmalarında belirleyici bir rol oynayan "Formalizm", takip ettiği ‘aksiyomatik’ yaklaşımla Peano ve Frege’nin aritmetiği saf mantıkî bir disiplin haline getirmelerine benzer şekilde geometriyi mekanın saf sezgisel idrakine dayanan bir bilim olmaktan kurtarmaya ve modern geometriyi formel aksiyomatik bir bilim olarak kurmaya çalıştı.
2. Bahsi geçen dönemlerde matematik felsefesi çalışmalarında ortaya çıkan muhtelif -izmlerin herbirisi matematik tarihini, bu çalışmanın konusu olması itibariyle geometri tarihini kendilerine has yöntemleri ve kavramları açısından değerlendirmeye tabi tuttu. Bu eleştirilerden aslan payını özellikle Euclides’in Elemanlar adlı eseri aldı. Çünkü bu eser tarihte geometriyi mantıkî bir şekilde düzenleyen, bu açıdan da mantıkî/aklî organizasyonun en mükemmel örneklerinden birisi olarak kabul edilir. Bu yargı, eserin bütünü için değilse bile, geneli için doğrudur; ayrıca ikibinyıl süren tatbikî değeri bu aklî tutarlılığını gösterir. Eserin böyle bir özelliği hâiz olması, Aristoteles mantığı ile bu mantığa dayanarak üretilen geometrik sonuçların mekandaki temsilinin beraberce yürütülmesiyle son derece alakalıdır. Bu açıdan Elemanlar, geometrinin Batı Avrupa’da Lobachevski’nin yeni geometrisine kadarki mantıkî gelişmesini garanti altına alan bir program olmuştur.
Modern -izmler herşeyden önce bütün Yunan matematiğini ‘bir tür geometri’ olarak gördü. Bu yargı, Pythagorasçı ‘aritmetika’yı temsil eden Nicomachos’un Aritmetiğe Giriş adlı eseri ile modern çalışmaların ortaya koyduğu gibi büyük oranda Sümer-Babil matematik geleneğinin bir devamcısı olan Diophantos’un Aritmetika isimli çalışması ve Archimedes’in sayısal analizleri haricinde doğrudur. Bir tür geometri olarak görülen Yunan matematik çalışmalarının ana eseri olan Elemanlar ise hemen hemen bütün -izmler açısından eleştiriye uğradı. Bu eleştiricilerin başında ise Formalizm bulunur.
3. Modern matematik felsefelerinin Euclides’in Elemanları’na yönelttiği eleştiriler şu şekilde özetlenebilir:
Ana kavramlara ait tanımlar açık değildir; hatta bazı tanımlar hiç bir anlam ifade etmez.